京大数学 2012年度 理系第4問

問題

発想

(1)は, $\sqrt{2}$が無理数であることの証明を参考にする。

(2)は, 多項式の割り算なので, $P(x) = (x^3 – 2)Q(x) + ax^2 + bx + c$とおき, $a = b = c = 0$を示す, という方針を立てるまでは一本道。

下書き

(1)

$\sqrt{2}$が無理数であることの証明を確認しておく。

有理数だと仮定すると, $\sqrt{2} = \frac{q}{p}$($p, q$は互いに素な自然数¹)とおける。
よって, $2p^2 = q^2$…①となるが, 左辺が$2$の倍数なので, $q^2$も$2$の倍数である。
したがって, $q$も$2$の倍数であるから, 改めて$q = 2q’$($q’$は自然数)とおくと, ①は, $p^2 = 2q’^2$となる。同様の議論で, $p$も$2$の倍数となるが, これは$p, q$が互いに素ということに矛盾する。

これと同様にやれば(1)は終了。

(2)

$P(x)$を$x^3 – 2$で割ったときの商を$Q(x)$, 余りを$ax^2 + bx + c$とすると, $P(x) = (x^3 – 2)Q(x) + ax^2 + bx + c$と置ける。

すると, $P(\sqrt[3]{2}) = 0$より, $a(\sqrt[3]{2})^2 + b\sqrt[3]{2} + c = 0$となる。割り切れることの証明なので, $a = b = c = 0$を示すことが目標。

式をよく見ると, $(\sqrt[3]{2})^2$も無理数だろうから, 「$a,b,c$が有理数で, $X,Y$が無理数のとき, $a + bX + cY = 0$ならば$a = b = c = 0$」…②と同じ構造をしている。
これは, もしかしたら当たり前だと思うかもしれない。

しかし, 証明が過去にも出題されており, そもそも無理数$X,Y$の値によっては成り立たない。

参照 1999年度 理系第5問

ここでポイントは, 「$a,b$が有理数で, $X$が無理数のとき, $a + bX = 0$ならば$a = b = 0$」…③はすぐに示せることである。
背理法的に, もし$a \neq 0$であれば$X = -\frac{a}{b}$と変形できるが, 左辺は無理数, 右辺は有理数となり矛盾。よって, $a = 0$で, したがって$b$も$0$だから③は成り立つ。

②と③の違いは, 無理数が一つか二つかの違いである。よって, 無理数を一つにまとめてしまえば, 証明が簡単にできる。
ただし今回は$3$乗根なので, 移行して$3$乗するだけでは根号(無理数)が二つ残ってしまう。慎重に考えて式変形を行う。

まず, $a(\sqrt[3]{2})^2 + b\sqrt[3]{2} + c = 0$…④の式がある。
この式だけでは, 根号を一つにできないので, 例えば$\sqrt[3]{2}$を両辺に掛けると, $(\sqrt[3]{2})^3 = 2$が使えて, $2a + b(\sqrt[3]{2})^2 + c\sqrt[3]{2} = 0$…⑤となる。
④⑤で, $\sqrt[3]{2}$と$(\sqrt[3]{2})^2$の連立方程式みたいになったので, 消去できるはずである。
どちらでもよいが, ややこしそうな$(\sqrt[3]{2})^2$の方を消去してみると, $(\color{red}{ac – b^2})\sqrt[3]{2} = \color{red}{bc – 2a^2}$となる²。

これで無理数が一つになったので, 上と同様に, $\color{red}{ac – b^2} = \color{red}{bc – 2a^2} = 0$が言える。

あとはここから$a = b = c = 0$を言えばよいだけ。

すぐに示すのは難しいが, 手を動かしていると, $ac = b^2$と$bc = 2a^2$を返々割ると綺麗になることに気づく。$c$は消えて, $a,b$も, $\frac{b}{a}$だけで表せる, いわゆる斉次式の形になる。よって, この式変形が正しそう。

辺々割るには, 分母$\neq 0$が必要で, 割った式を整理すると, $\sqrt[3]{2} = \frac{b}{a}$となる。
しかしこれは左辺が無理数, 右辺が有理数となるので, 矛盾が生じ, 辺々割ったところ, つまり分母$\neq 0$としたところが間違っていたことが分かる。
このようにして, $a = b = c = 0$が言える。

解答例

(1)

$\sqrt[3]{2}$が有理数だと仮定すると, 互いに素な自然数$p, q$を用いて, $\sqrt[3]{2} = \frac{q}{p}$とおける。
$3$乗して分母を払うと, $2p^3 = q^3$…①となる。
左辺は$2$の倍数なので, 右辺の$q^3$も$2$の倍数である。したがって, $q$も$2$の倍数である。
自然数$q’$を用いて$q = 2q’$と改めておくと, ①は$p^3 = 4q’^3$となる。
右辺は$2$の倍数なので, 左辺の$p^3$も$2$の倍数である。したがって, $p$も$2$の倍数である。
しかしこれは, $p, q$が互いに素であるということに矛盾する。
よって, $\sqrt[3]{2}$は無理数である。

(2)

$P(x)$を$x^3 – 2$で割ったときの商を$Q(x)$, 余りを$ax^2 + bx + c$とすると, $P(x) = (x^3 – 2)Q(x) + ax^2 + bx + c$と置ける。
ここで, $P(x)$は有理数係数より, $a,b,c$は全て有理数である。

すると, $P(\sqrt[3]{2}) = 0$より, $a(\sqrt[3]{2})^2 + b\sqrt[3]{2} + c = 0$…②となる。
②の両辺に$\sqrt[3]{2}$を掛けて, $2a + b(\sqrt[3]{2})^2 + c\sqrt[3]{2} = 0$…③

②③より$(\sqrt[3]{2})^2$を消去して整理すると, $(ac – b^2)\sqrt[3]{2} = bc – 2a^2$…④

$ac – b^2 \neq 0$とすると, $(ac – b^2)\sqrt[3]{2} = bc – 2a^2$④は$\sqrt[3]{2} = \frac{bc – 2a^2}{ac – b^2}$と変形できるが, これは, (1)より左辺が無理数, $a,b,c$は全て有理数より右辺が有理数となり, 矛盾。
よって, $ac – b^2 = 0$…⑤であり, $(ac – b^2)\sqrt[3]{2} = bc – 2a^2$④に代入すると, $bc – 2a^2 = 0$…⑥

ここで, もし$b^2 \neq 0$かつ$ac \neq 0$ならば, ⑤：$ac = b^2$と⑥：$bc = 2a^2$を辺々割り, $\frac{2a^2}{b^2} = \frac{b}{a}$となる。整理すると, $\sqrt[3]{2} = \frac{b}{a}$となるが, (1)より左辺が無理数, 右辺が有理数となり, 矛盾。
よって, $b^2 = 0$または$ac = 0$である。

(i) $b^2 = 0$すなわち$b = 0$のとき, $bc – 2a^2 = 0$⑥より, $a = 0$
このとき$2a + b(\sqrt[3]{2})^2 + c\sqrt[3]{2} = 0$③は, $c\sqrt[3]{2} = 0$となるので, $c = 0$

(ii) $ac = 0$すなわち$a = 0$または$c = 0$のとき,
(ii-i) $a = 0$のとき, $ac – b^2 = 0$⑤より, $b = 0$
このとき$2a + b(\sqrt[3]{2})^2 + c\sqrt[3]{2} = 0$③は, $c\sqrt[3]{2} = 0$となるので, $c = 0$
(ii-ii) $c = 0$のとき, $ac – b^2 = 0$⑤より$b = 0$, $bc – 2a^2 = 0$⑥より$a = 0$

よって, $a = b = c = 0$となるので, $P(x)$は$x^3 – 2$で割り切れる。

振り返り

(1)は落としてはいけない。

(2)はやり方はわかっても, 式変形が難しい。本番では最後まで出来なくてもしょうがないが, よくあるテーマなので, 時間をかければできるようにしておくべき。

1. 普通は$p, q$を整数と置くが, $\sqrt{2}$が正であることは自明なので, $p, q$はどちらも自然数と置くことができる。そうすることで, 分母が$0$になる心配もしなくてよくなる。 ↩︎
2. $\sqrt[3]{2}$の性質を(1)で調べたので, $(\sqrt[3]{2})^2$よりも詳しい情報を知っていることになる。文字消去は性質のわからないものから消去するのが原則だから, 今回は$(\sqrt[3]{2})^2$の方を消去する, と論理的に考えることもできる。 ↩︎