京大数学 1995年度 理系第2問

問題

発想

素数絡みだから, まずは因数分解を考える。結論は, 「$d-1$が$2p$で割り切れる」等に言い換えたほうが考えやすそう。

下書き

$n$乗の差の因数分解公式¹を利用して,

よって, $d$は素数だから, 候補は以下の$4$通りに限定される。

これらはもちろん絞り込めて, $a^{p-1} + a^{p-2}b + \cdots + b^{p-1} > 0$(または$a > b$)より, マイナスの入った候補$3,4$は直ちに除外される。
また, $a^{p-1} + a^{p-2}b + \cdots + b^{p-1} = 1$となることもなさそうなので, 候補$1$に確定。
よって, $a-b=1$…①と$a^{p-1} + a^{p-2}b + \cdots + b^{p-1}=d$…②が得られる。

$a-b=1$①という非常にシンプルな式が出てきたので, 文字を消去してみる。$a^{p-1} + a^{p-2}b + \cdots + b^{p-1}=d$②はややこしい式なので, シンプルな元の$a^p – b^p = d$の方に代入する。普通は$b$を消去するが, やってみるとマイナスが出てくるので, マイナスが出ないように$a$を消去してみる。
(むやみに式変形するのではなく, このように目的を持って, なるべくシンプルに式変形をする姿勢が大切)

$a-b=1$①より$a = b+1$を$a^p – b^p = d$に代入して, $(\color{red}{b}+1)^\color{red}{p} – \color{red}{b^p} = d$…③
$\color{red}{b^p}$が消えてくれそうなので, 二項定理で展開するか, $n$乗の差の因数分解公式を使って整理する。

これで, $\color{blue}{d – 1}$が出てきた。

$d-1$が$p$の倍数を示す

${}_pC_1b^{p-1} + {}_pC_2b^{p-2} + \cdots + {}_pC_{p-1}b$の部分は$p$の倍数(京大受験生の常識。詳しくはこちら)なので, まず「$d – 1$が$p$の倍数」と言える。

$d-1$が$2$の倍数を示す

あとは, 「$d-1$が$2$の倍数」ということを言いたい。少し扱いにくいので言い換えると, 「$d-1$が偶数」, 「$d$が奇数」, などに言い換えられる。「$d$が奇数」がシンプルで良さそう。

$d$が出てくる式として, $a^{p-1} + a^{p-2}b + \cdots + b^{p-1}=d$②や$(b+1)^{p} – b^p = d$③があるが, どちらからでも「$d$が奇数」が言える。まずはシンプルな$(b+1)^{p} – b^p = d$③の利用を考える。

$(b+1)^p – b^p = d$…③を利用

まず前提として, 奇数は何乗しても奇数, 偶数は何乗しても偶数である。$b+1$と$b$は連続する整数なので, 偶奇は異なる(一方が偶数なら, もう一方は奇数)。よって, $(b+1)^p$と$b^p$も偶奇は異なる。偶奇が異なるもの同士の引き算は, 必ず奇数になるので, $(b+1)^{p} – b^p = d$③より$d$は奇数。

$a^{p-1} + a^{p-2}b + \cdots + b^{p-1}=d$…②を利用

実はこちらの方が簡単。そもそも$d$は素数だから, $d$が$2$である可能性を排除できれば, 自動的に$d$は奇数となる。$a^{p-1} + a^{p-2}b + \cdots + b^{p-1}=d$②式よりほぼ明らかに$d > 2$なので, $d$は奇数。

$d-1$が$2p$の倍数を示す

すでに$d-1$が$p$の倍数, $d-1$が$2$の倍数を示しているが, ここから直ちに$d-1$は$2p$の倍数, と書くと減点。$p$と$2$が互いに素ということを必ず断っておく。
(なぜこの一文が必要かわからない人は, 互いに素でないとどうなるか具体例で考えてみること)

解答例

$a^p – b^p = d$より,

$d$は素数より,

ここで, $a,b$は自然数かつ$p \geqq 3$より,

となるから,

となる。$(a-b, a^{p-1} + a^{p-2}b + \cdots + b^{p-1}) = (1, d)$①から得られる$a-b = 1$を, $a^p – b^p = d$に代入して$a$を消去すると, $(b+1)^p – b^p = d$となる。
さらに展開して整理すると,

ここで, $p$が素数で, $k = 1, 2, \cdots, p-1$のとき, ${}_pC_k$を考える。
${}_pC_k$は整数で, ${}_pC_k = \frac{p(p-1)\cdots(p-k+1)}{k(k-1) \cdots 2 \cdot 1}$となるが, $p$は素数だから, 分子の$p$は, 分母の$k, k-1, \cdots, 2$のそれぞれと約分されずに残る。よって, ${}_pC_k$は$p$の倍数である。

この事実を使うと, ${}_pC_1b^{p-1} + {}_pC_2b^{p-2} + \cdots + {}_pC_{p-1}b = d – 1$②より, $d-1$は$p$の倍数の和となるので, 「$d-1$は$p$の倍数である」…③と言える。

また, $(a-b, a^{p-1} + a^{p-2}b + \cdots + b^{p-1}) = (1, d)$①から得られる$a^{p-1} + a^{p-2}b + \cdots + b^{p-1} = d$と, $a,b$は自然数かつ$p \geqq 3$より,

となる。よって, $d$は$3$以上の素数, すなわち奇数である。
したがって, 「$d-1$は$2$の倍数である」…④と言える。

$d-1$は$p$の倍数③, $d-1$は$2$の倍数④および, $p$は$3$以上の素数より$p$と$2$は互いに素であることから, $d-1$は$2p$の倍数である。
よって, $d$を$2p$で割った余りは$1$である。

振り返り

京大過去問の中でもトップレベルの良問だが, 難易度は高い。$a-b=1$までは簡単なのでできてほしい。そのあとは, やみくもに式変形すると泥沼に陥る危険がある。使える式と結論をじっくりと見極めて, 出来るだけ簡単なものから活用する感覚を養いたい。
初見で解けなくても気にする必要はないので, 整数問題に必要な考え方をしっかり学び取ってほしい。

補足

$a^p$という形を見ると, フェルマーの小定理を思い浮かべる人もいるかもしれない。

実際, 「$d-1$が$p$の倍数」を示すところは, 以下のように, フェルマーの小定理を使うと簡単に示せる(本番でフェルマーの小定理を使いたい無謀な受験生は, 証明してから使うこと)。

より, $d$を$p$で割った余りは$1$。

1. 入試では知らないと解けない問題も意外と多いので, もし知らない, 覚えにくいという人は, $x^3 – y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$の一般化にすぎないということを意識して, 確実に覚えておく。 ↩︎