京大数学 2001年度 文系第3問

問題

発想

まずは実験してもよいが, $9$乗が大変そうである。因数分解ができるのでまずは因数分解を行う。

$9$で割り切れることを示すので, $9$の剰余系か, $3$の剰余系で何とかなるはず。よって方針としては, $3$の剰余系で示せそうならそれで, 難しそうなら時間はかかるが$9$の剰余系の場合分けでごり押す。

下書き

3の剰余系で頑張る

$\bmod$を使うと, $\bmod 3$では$9$で割り切ることを示せないので, $n = 3k, 3k+1, 3k+2$($k$は整数)の方式でやる。

$n = 3k$のときは, $n^3$の部分が$27k^3$となるので, 確かに$9$の倍数。

$n = 3k+1$のときは, まず$n-1$の部分が$3k$となるので, $3$の倍数。
あとひとつ, $3$の倍数の部分を探せばよいが, $(n^2-n+1)$と$(n^2+n+1)$を計算すると, $(n^2+n+1)$の方が$3(3k^2 + 3k + 1)$となるので, $3$の倍数。
よって, $9$の倍数。

$n = 3k+2$のときは, まず$n+1$の部分が$3(k+1)$となるので, $3$の倍数。
あとひとつ, $3$の倍数の部分を探せばよいが, まだ使ってない$(n^2-n+1)$が$3$の倍数になるだろうからそちらから計算すると, $3(3k^2 + 3k + 1)$となるので, $3$の倍数。
よって, $9$の倍数。

以上で示せた。
よく見ると, $n^9 – n^3 = n^3(n+1)(n^2-n+1)(n-1)(n^2+n+1)$②まで因数分解せずとも, $n^9 – n^3 = n^3(n^3 + 1)(n^3 – 1)$①までの因数分解で良さそう。
また解答例では, $n = 3k \pm 1$とまとめて書いてみた。

9の剰余系でごり押し

$\mod 9$を使って, $9$個の場合分けで示す。場合分けが多くなるが, 確実に完答できるやり方なので, この考え方も大切。

これでもOK。

因数分解を有効活用

と因数分解した時点で, 連続$3$整数に目が行った人はえらい。

の前半部分は連続$3$整数の積の形になっているので, 必ず$6$の倍数。よって, 後半部分がまた別に$3$の倍数であることを示せば, 全体で$9$の倍数($18$の倍数)であることが示せる。

後半部分を整理すると, $n^2(n^4+n^2+1)$となり, これが$3$の倍数を示せばよいので, 適当に$n \equiv 0, \pm 1 \pmod 3$で場合分けをすれば一瞬で示せる。

解答例1(3の剰余系)

$n^9 – n^3 = n^3(n^3 + 1)(n^3 – 1)$
以下, $k$は整数とし, (ii)では複合同順とする。

(i) $n = 3k$のとき, $n^3 = 9 \cdot 3k^3$より, $n^3$の部分が$9$の倍数となる。

(ii) $n = 3k \pm 1$のとき, $n^3 \mp 1 = 9 (3k^3 \pm 3k^2 + k)$より, $n^3 \mp 1$の部分が$9$の倍数となる。

以上より, 任意の整数$n$に対し, $n^9 – n^3$は$9$で割り切れる。

解答例2(連続3整数の積に着目)

であり, $(n-1)n(n+1)$は連続$3$整数の積だから$6$の倍数である。

次に, $n^2(n^4+n^2+1)$について,
(i) $n \equiv 0 \pmod 3$のとき, $n^2(n^4+n^2+1) \equiv 0 \pmod 3$
(ii) $n \equiv \pm 1 \pmod 3$のとき, $n^2(n^4+n^2+1) \equiv 3 \equiv 0 \pmod 3$

以上より, 任意の整数$n$に対し, $(n-1)n(n+1)$と$n^2(n^4+n^2+1)$がともに$3$の倍数だから, $n^9 – n^3$は$9$で割り切れる。

振り返り

どのやり方でもよいので, $15$分程度で完答してほしい問題。